Мы публикуем краткое изложение лекции Сергея Нечаева «О топологии веревок, неэвклидовой геометрии и фрактальной укладке ДНК в хромосомах». Полный текст лекции см. здесь.
Сергей Константинович Нечаев – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник сектора математической физики Физического Института им. П.Н. Лебедева РАН, Москва; Directeur de Recherche au CNRS (CNRS – Национальный центр научных исследований) Universite Paris-Sud, Orsay, France.
Топология является довольно коварной наукой, потому что хочется всё время оперировать кухонными представлениями об узлах, но они, как правило, оказываются неверными и не дают возможности решать задачу, как математически, так и физически.
Математики занимаются, в основном, классификацией узлов зацепления и построением характеристик, которые зависят только от топологии, то есть не зависят от формы кривой.
Физиков интересуют другие, в каком-то смысле более сложные, вопросы. Представим, что мы все знаем про узлы. Представьте кусок резины. Это полимерные цепи, которые сшиты между собой на концах и образуют сетку. Что происходит, если мы деформируем резину, откуда появляется упругость? Если цепи находятся в ненапряженном состоянии, у них очень большое пространство для того, чтобы флуктуировать. Как только мы растягиваем резину, степень свободы, возможность флуктуации для цепей уменьшается. То, как уменьшается набор допустимых возможностей для флуктуации в зависимости от степени растяжения, определяет, насколько резина тянется. С одной стороны, нам надо знать, какое топологическое состояние у цепей, а с другой, нам нужно знать, как оно влияет на набор возможных положений цепей в пространстве, когда мы их растягиваем.
Простейшие модели
Для понимания нужно иметь модель. Представим собаку, которая бегает вокруг будки. Нас интересует, как далеко она отбежит от будки за какое-то количество шагов. Если она бегает случайно, кошек и костей нигде нет, а длина цепи 100 м, то, в среднем, она убежит на расстояние 10 м (=√100). Это обычная задача о случайных блужданиях, ограниченных только длиной пути.
Другая задача – собака бегает в лесу. Какова вероятность того, что собака за какое-то количество шагов вернется в исходную точку, но при этом ее цепь не зацепится за дерево?
В простейшем случае можно рассмотреть задачу, когда собака зацепляется за одно дерево. Оказывается, что разница между зацеплением траектории за одно дерево или за два – принципиальная, в то время как от двух до бесконечности - уже большой разницы нет. То есть разница есть, но она скорее количественная, а между одним и двумя – качественная, потому что из «комммутативной» теория превращается в «некоммутативную».
Пусть собака побежала по часовой стрелке, потом назад, снова назад и вернулась. Число оборотов, которые она сделала по часовой и против часовой стрелки вокруг каждого препятствия – ноль, хотя траектория зацеплена за препятствия. Это пример того, что называется некоммутативностью. Теория узлов в своей сути некоммутативна. Нарисованный контур имеет математическое название «контур Похгаммера» и устроен он так, что траектория зацеплена за обе особенности сразу, но не за каждую по отдельности.
Азбука и термины
Определим термины, которые помогут решать задачи, о которых шла речь. Пусть есть два препятствия, за которые зацеплен контур, и есть «генератор», т.е. буква, которая отвечает тому, что я могу обойти вокруг одного препятствия, или другая буква, соответствующая обходу вокруг другого препятствия. Имея такую азбуку и правила перестановки этих букв (коммутацию), я могу написать любое слово, идя вдоль траектории. Пусть траектория зацеплена за единичное препятствие. Я дважды прошел против часовой стрелки, а потом дважды по часовой стрелке. Я могу представить это в другом виде: обход по часовой стрелке – это использование буквы «А» (стрелочка вверх), а обход против часовой стрелки – буква «А-1» (стрелочка вниз), и тогда расстояние по высоте от горизонтали - это та степень зацепления, которая имеется.
Если я случайным образом хожу вправо и влево, то у меня есть траектория, у которой шаги случайны, и я могу пойти либо вверх, либо вниз. Время от времени я пересекаю горизонтальную ось и каждый раз, когда я ее пересекаю, оказывается, что траектория распутывается. Сосчитать количество пересечений, это все равно, что решить задачу о случайном блуждании, и ответ тот же, как в задаче с собакой. То есть, если у меня есть какое-то число шагов, то квадратный корень из этого числа раз я возвращаюсь на горизонтальную линию, то есть она у меня оказывается распутанной.
Если же у меня есть две особенности – все то же самое, за исключением разницы в последовательности использования букв, поэтому ситуация принципиальным образом меняется. Буквы (зацепления, в данном случае), не коммутируют, я не могу их переставлять.
Таким образом, у нас есть некоторый граф, решетка, которую мы можем представить себе так: если мы идем по горизонтали, то используем букву «А», если по вертикали – букву «В». Если вниз – это будет обратный шаг. В коммутативном случае шаги «А» - «B» приводят в ту же точку, как шаги «B» - «А». Периметр, то есть количество вершин, которые находятся на каком-то расстоянии от начальной точки, растет линейно с радиусом.
В случае, если зацепления не коммутируют, ситуация другая. Точку, в которую мы пришли после шагов «А» - «B» и «B» - «A», мы должны «расклеить». И это мы должны сделать везде, в любой вершине. В результате мы получим вместо решетки, где были циклы, граф, который представляет собой дерево, и теперь периметр растет уже как экспонента с тостом радиуса. Это принципиальная разница – между тем, что происходит в обычном нашем пространстве, евклидовом, и пространстве, скелет которого является некоммутативной (в данном случае, «свободной») группой.
Например, я взял кусок бумаги, и разрезал его по радиусу. Края раздвинул и вставил туда сектор, и вклеил. Получился чипс (седло). Он не может быть уложен в плоскость, он будет топорщиться, потому что периметр у него растет быстрее, чем это диктуется правилами роста периметра в обычном пространстве, P= 2pr.
Лист салата – тоже объект неевклидовой геометрии. Почему он волнистый, похож на юбку «годе»? Клетки, которые растут на периферии, растут быстрее из-за того, что они граничат со свободным пространством, у них больше возможностей для роста, чем у тех, что находятся внутри. Поэтому общий периметр растет быстрее, чем это нужно для того, чтобы лист был плоский, и его можно было бы уложить в плоскость.
Мы знаем теперь, что любое зацепление может быть изображено в виде слова, составленного из букв, которые кодируют последовательность шагов (оборотов). Пространство, в котором я могу изобразить это слово в виде пути, устроено, как «дерево», где все вершины расклеены. Таким образом я могу связать сложность зацепления с «метрикой». т.е. удалением от корня дерева (начальной точки блуждания), или, в данном случае. Дерево – это решетка (одна из возможных) для поверхности постоянной отрицательной кривизны (плоскости Лобачевского), точно так же, как обычная квадратная решетка – дискретизация обычной (евклидовой) плоскости.
Возвращение – это распутывание. Поэтому теперь понятно, как решать задачу о зацеплении за два препятствия. У меня есть случайные шаги, теперь они происходят «на дереве». Чтобы решить задачу, с какой вероятностью я распутался, я просто должен сосчитать вероятность возвращения в корень дерева.
«Пространственные» картины
Как можно нарисовать «дерево», чтобы оно поместилось в плоскости? Нужно пропорционально удалению от корня уменьшать длину шага. Каждый раз шаги уменьшаются в какое-то фиксированное количество раз. Получается граф, который выглядит как треугольник, у которого сумма углов меньше 180 градусов (это треугольник с вогнутыми сторонами).
Дальше я строю «замощение» этой плоскости, отражая треугольники относительно своих сторон. Точно так же, как на плоскости мы просто взяли бы кирпич, и дальше последовательными отражениями заполняли бы поверхность прямоугольниками. Из-за того, что у треугольника одна из сторон вогнута, получается так, что мы приходим к какому-то пределу, и это похоже на то, что изображал Морис Эшер. Это один из образов плоскости Лобачевского.
Вернемся к исходной задаче о зацеплении цепочки, но теперь уже не за две особенности, а за целую решетку. Скажем, мы вышли из точки «А», как-то блуждали. Для того, чтобы вычислить вероятность того, что траектория не зацеплена за эти особенности, нужно вычислить вероятность того, что мы случайно ходим по «дереву» и снова вернулись в корень. Эта очень редкое событие: мы ходим одинаково по каждой ветке, от корня мы можем уйти по трем веткам, а вернуться назад – по одной. Таким образом, есть поле, которое нас уводит от начальной точки, поэтому вероятность того, что мы вернемся назад, она экспоненциально мала.
Давайте поставим такую задачу. Пусть мы вернулись на последнем шаге в исходную точку. Как далеко мы ушли за половину шагов? В результате того, что мы поставили условие, что мы на последнем шаге обязательно вернулись в начало, мы уйдем, точно так же, как ушли бы в «плоском» случае. Если мы просто ходим по «дереву», за какое-то количество шагов мы уходим далеко и очень редко возвращаемся. Но если мы скажем, что на последнем шаге мы хотим обязательно вернуться в начальную точку, мы уйдем по «дереву» так же, как если бы ушли на обычной плоскости. Условие возвращения в начальную точку «убивает» кривизну. Это обстоятельство играет принципиальную роль в укладке, которая была обнаружена в ДНК.
ДНК в хромосомах
Какое отношение эти модели имеют к настоящим узлам, и тем более, к ДНК?
Рассмотрим диаграмму узла. Это плотный узел, можно представлять себе так, что вы взяли плоскую щель и в ней очень плотно уложили нить. Единственная степень свободы, которая тут есть: кто проходит сверху, кто снизу. Эта величина и определяет - запутанная траектория или не запутанная, какая у нее будет топология. Эта переменная называется «топологический беспорядок». Мы с какой-то вероятностью выбираем, сверху и снизу, а потом смотрим, что будет с узлом.
Сделаем то же, что с зацеплением. Мы знаем, что вся плетенка – тривиальный узел, то есть, он распутывается. Отрежем часть и замкнем то, что осталось. Помнит ли кусок, который остался, что он был частью незаузленного кольца, то есть незаузленной петли? Это то же вопрос, который мы задавали про возвращение в исходную точку на дереве: если мы знаем, что вся траектория не зацеплена, какая сложность у узла, который находится где-то на половине? Ответ такой: помнит, и очень хорошо. Если бы не было условия, что «родительский» узел тривиальный, если бы мы просто поинтересовались, с какая сложность у случайно сгенерированного узла, то мы получили бы очень сильно зацепленные пути. Но для условных распределений любой кусок, которой отрезан от тривиального узла, всегда оказывается слабо заузленным. Давайте подумаем, как можно в пространстве уложить нить так, чтобы, какой бы кусок мы от нее ни взяли, на нем бы было мало узлов?
Возьмем кусок цепочки и сделаем на ней маленькие складки. После чего сделаем складки из складок.Потом следующий шаг, и т.д. Полученная структура имеет складки на всех масштабах, начиная с минимального. Группа из MIT и Гарварда занималась укладкой ДНК-хромосом. Но никто не сказал, что эта конфигурация равновесная, т.е. если подождать какое-то большое время, она останется жить навсегда. Может быть, она просто является кинетически запертой, и это означает, что пройдет большое время и она развалится? Нет. Если вы свяжете это с тем, о чем шла речь до сих пор, а именно, что на всех масштабах я должен иметь незаузленную цепочку, то это единственная возможность такой укладки. Никаких других не существует, по-видимому. Это похоже на ту модель, которая стоит на столе. Это так называемый гамильтоновпуть в трехмерном пространстве. Он устроен именно так, как устроена кривая Пеано: она имеет складки маленького масштаба, эти маленькие складки уложены в складки большего масштаба. Дальше всё повторяется. Удивительным образом именно эта штука, во всяком случае, так показывает теория, и отчасти так получается в эксперименте, живет и является стабильной. Посмотрите, какие у нее преимущества. В качестве бонуса мне принесли еще и модель обычной глобулы. Возьмем полимерную цепочку, и поместим ее в такие условия, в которых она хочет создавать конденсат, т.е. когда взаимодействие между мономерами сильнее, чем между мономером и растворителем. Из-за того, что есть свободные концы, она схлопнется, а потом «пронижет» себя петлями.
Если же с самого начала мы взяли бы не разомкнутую, а замкнутую цепочку без узлов, и сделали бы то же самое, то есть поместили бы ее в такие условия, в которых ей хочется создать компактное состояние, то мы получили бы совершенно другую структуру типа кривой Пеано.
Почему такая укладка важна? Она очень мягкая. Она обладает удивительными свойствами, в частности, свойствами упругости. И, кроме того, попробуйте вытащить часть цепи из этой структуры. Из-за того, что она сложена в складки и не перепутана, вытащить кусок очень легко. Это означает, что для транскрипции ДНК очень легко вытаскивать достаточно длинные участки этой цепочки и потом быстро убирать их назад. Если вы попытаетесь вытащить петлю из равновесной глобулы, то вам придется побеспокоить практически все мономеры, потому что она очень сильно зацеплена. Если вы вытаскиваете петлю из фрактальной глобулы, то это происходит локально. Чтобы вытаскивать быстро и обратимо, надо иметь фрактальную (складчатую) глобулу.
Удивительно сложная работа была сделана в 2009 году в группе, в которой принимал участие наш бывший соотечественник Леонид Мирный, заведующий биофизической лабораторией в МIT. А главным действующим лицом, экспериментатором, который является специалистом в методе, который называется Нi-C (хай-си) является американец Йоб Деккер из Гарварда. Задолго до Hi-C экспериментов Александром Гросбергом с соавторами была высказана гипотеза, что складчатая глобула, которая родилась в наших работах, может иметь отношение к укладке ДНК в хромосомах. Эта идея была опубликована Гросбергом с коллегами в журнале Europhysics Letters в 1993 году, но до последнего времени она оставалась гипотезой. Доказательство же слабой заузленности любого «дочернего» куска незаузленного «родительского» полимерного кольца в конденсированной фазе, и, как следствие, теоретическое обоснование существования фрактальной глобулы было опубликовано нами в журнале Knot Theory and its Ramifications в 2005 году.
