Сначала мы поговорим немного о теории вероятностей, а потом перейдем к футболистам – участникам чемпионата мира в Бразилии.
Сколько нужно человек, чтобы среди них нашлись двое, отмечающих день рождения в один и тот же день? Чтобы гарантировать наличие пары с общим днем рождения, нам нужно 366 человек, так как теоретически не исключено, что дни рождения 365 человек равномерно распределятся по всему году (мы пренебрегаем редким днем 29 февраля, если же учитывать и его, то понадобится 367 человек).
А какой количество людей нужно, чтобы вероятность найти двоих с общим днем рождения была больше половины? Если задать такой вопрос не подготовленному в области математики человеку, то часто в ответ можно услышать довольно большие числа: 180 и более. Посмотрим, какой результат получится при вычислении этой вероятности.
Сначала подсчитаем, какова вероятность того, что в группе все люди родились в разные дни. Если число людей больше 365, то эта вероятность равна нулю. Если же людей меньше, считать надо следующим образом. Возьмем произвольного человека и запомним, когда у него день рождения. Далее возьмем следующего человека, вероятность, что день рождения второго человека не совпадает с днем рождения первого, равна 1 — 1/365. Возьмем третьего человека и подсчитаем вероятность того, что его день рождения не совпадает с днями рождения первых двоих. Она равна 1 — 2/365. Далее мы для каждого из оставшихся людей будем получать вероятность несовпадения дня его рождения с предыдущими: для четвертого 1 — 3/365, для пятого 1 — 4/365, для шестого 1 — 5/365 и так далее. Чтобы получить вероятность того, что дни рождения не совпадают у всех, мы должны перемножить эти вероятности.
А чтобы получить вероятность совпадения дня рождения у хотя бы двух человек, полученное значение надо вычесть из единицы. Теперь, подставляя вместо n количество людей, мы узнаем, какова вероятность общих дней рождения у них. Оказывается, что уже для пятидесяти человек эта вероятность составляет 0,97, а для ста даже 0,9999996. То есть мы с очень большой вероятностью найдем пару с общим днем рождения. За 0,5 вероятность переходит в группе всего лишь из 23 человек (для нее вероятность равна 0,507). Значит, начиная с количества 23 человека, шансов найти пару, отмечающую день рождения вместе, выше, чем не найти.
Почему же полученный результат настолько отличается от ожидаемого? Дело в том, что, интуитивно оценивая вероятность, человек обычно сопоставляет число людей в группе с числом дней в году. Так как 23 заметно меньше, чем 365, кажется, что шансов на совпадение их дня рождения крайне мало. Между тем, для правильной оценки вероятности надо смотреть не на число людей, а число возможных пар, которые можно из этих людей составить. А выбрать произвольную пару из 23 человек можно 253 способами, что и обеспечивает нам достаточно высокую вероятность общего дня рождения. Такое противоречие между интуитивным восприятием вероятности и результатами ее подсчета получило название «парадокс дней рождения».
Теперь о футболистах. Алекс Беллос (Alex Bellos) – британский автор популярных книг о бразильском футболе и математике. На сайте газеты «Гардиан» он ведет посвященный математике блог Alex’s Adventures in Numberland. Накануне чемпионата мира он вспомнил о парадоксе дней рождения и решил посмотреть, как обстоит дело с днями рождения у футболистов сборных, участвующих в турнире.
К тому же число игроков в заявке как раз равно 23. Значит, мы вправе ожидать, что приблизительно в половине сборных найдутся игроки с общим днем рождения. В турнире участвует 32 сборных. Однако, как обнаружил Алекс Беллос, число сборных, где есть такая пара игроков, вовсе не 16, а 19, то есть не 50%, а почти 60%.
Среди таких сборных и команда России. Сергей Игнашевич и Максим Канунников родились 14 июля. Также пары с общим днем рождения есть в сборных Австралии, Алжира, Аргентины, Боснии и Герцеговины, Бразилии, Германии, Гондураса, Ирана, Испании, Камеруна, Колумбии, Нигерии, Нидерландов, США, Франции, Чили, Швейцарии, Южной Кореи. Более того, в командах Аргентины, Ирана, Швейцарии и Южной Кореи нашлось по две пары таких футболистов.
Алекс Беллос задался вопросом, чем может быть вызвано неожиданно большое число таких команд. Конечно, это может быть случайностью, и, если мы возьмем сборные не 32 стран, а всех стран мира, доля сборных, где будут игроки с общим днем рождения, достигнет предсказанных 50,7%. Однако Алекс Беллос видит причину в том, что дни рождения у футболистов оказываются распределены неравномерно. По его подсчетам, дни рождения в январе у 72 участников чемпионата мира, в феврале – у 79, в марте – у 64, в апреле – у 63, в мае – у 73, в июне – у 61, в июле – у 54, в августе – у 57, в сентябре – у 65, в октябре – у 52, в ноябре – у 46, в декабре – у 47. Если бы игроки рождались равномерно, то на каждый месяц приходился бы 61 день рождения. Получатся, что в первую половину года число дней рождения больше ожидаемого, а в пять из последних шести месяцев – меньше.
Это объясняет повышенное число пар с общим днем рождения, но ставит другой вопрос: почему в начале года рождается больше футболистов, чем в конце? В январе и феврале нашлось только по одному дню, в который не родилось ни одного из участников чемпионата. Тогда как в ноябре и декабре таких дней по восемь. Хотя февраль самый короткий месяц, но именно на него приходятся дни с наибольшим числом дней рождения: 5, 13 и 14 февраля родилось по семь футболистов. У футболистов сборной России с января по июль 19 дней рождения, а с августа по декабрь – только четыре.
Такое распределение дней рождения по месяцам заметно отличается от среднего. В среднем оно более равномерно. Пики случаются, порой, специфические для конкретных стран, но они не совпадают с картиной, которую мы видим у футболистов. Например, в США больше всего рождений приходится на лето.
Возможным объяснением, по словам Алекса Беллоса, может стать то, что спортсменами становятся дети, родившиеся ближе всего к дате, которая в их стране принята в качестве точки отсчета возраста при приеме в школу. В детстве они могут быть крупнее и сильнее сверстников и более успешны на уроках физкультуры. В таком случае оказывается, что в большинстве стран при поступлении в школу дети должны достигать нужного возраста по состоянию на 1 января. Однако, как замечает Алекс, сборная Англии представляет собой контрпример к этой гипотезе. В английских школах необходимый возраст детей при поступлении определяется на 1 сентября, а самыми популярными месяцами рождения для сборной Англии оказались май, август и декабрь.
Смещение распределения по месяцам рождения, при котором родившихся в начале года оказывается больше, обнаружено не впервые. В англоязычной литературе оно получило название relative age effect (RAE), «эффект относительного возраста». Оно весьма характерно для спорта. Вот, как рассказывают об этом в книге «Суперфрикономика» Стивен Левитт и Стивен Дабнер: «Судя по данным британской молодежной футбольной лиги, половина игроков была рождена в период с января по март, а вторая половина распределена по девяти оставшимся месяцам. Аналогичные данные из немецких источников показывают, что 52 лучших игрока родились в период с января по март, и лишь четыре игрока — в период между октябрем и декабрем».
Лиловые столбцы – распределение рождений по месяцам у игроков молодежных турниров УЕФА, розовые – среднее по Евросоюзу.
Объяснение этого эффекта весьма близко к гипотезе, описанной Алексом Беллосом. Действительно играет роль «дата отсечки», но при поступлении не в школу, а в детскую спортивную команду или секцию. В детском и молодежном спорте деление на лиги производится по году рождения. Если тренер, отбирая младших школьников, столкнется с двумя детьми, родившимися в один год 1 января и 31 декабря, то, не смотря на то, что они будут считаться формально ровесниками, первый будет физически более развит: ведь он почти на год старше. В результате у него окажется больше шансов быть отобранным в команду, пройти подготовку и, в конце концов, стать профессиональным спортсменом.
