Издательство «Альпина нон-фикшн» представляет книгу Бена Орлина «Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность» (перевод Алексея Огнёва).
Вы с содроганием вспоминаете школьные уроки математики? Это нормально, ведь у вас не преподавал Бен Орлин, автор этой книги. Впрочем, и он не сразу додумался объяснять ученикам, что вообще-то математика лежит в основе всего на свете: от лотереи до «Звездных войн», от рецептуры шоколадных пирогов до выборов. И что тот, кто овладел основами точной науки, получает возможность разобраться в природе и устройстве окружающих нас вещей и явлений. Орлин выступает не только как педагог, но и как художник-иллюстратор: его смешные человечки и закорючки покорили тысячи школьников, покорят и вас. Изящные каламбуры и забавные ассоциации, игры разума и цифровые загадки (к каждой из которых вы получите элегантную и ироничную разгадку) и, конечно, знаменитые фирменные рисунки (которые, вопреки заглавию, не такие уж дурацкие) позволяют Орлину легко и остроумно доносить самые сложные и глубокие математические идеи и убеждают в том, что даже математика может быть страшно интересной.
Предлагаем прочитать фрагмент книги.
Иррациональная бумага
По прибытии в Англию я был готов столкнуться с огрехами моего американского воспитания. Вместо научных градусов Цельсия я пользовался архаичными градусами Фаренгейта. Вместо аккуратных километров (состоящих из 1000 метров) я использовал причудливые мили (состоящие из 5280 футов). Вместо чая я заливал в свой топливный бак карамельные коктейли, будучи верен бренду «Старбакс». И я заранее знал, что мне непросто дастся адаптация к традициям цивилизованного мира.
Но был один культурный шок, который я не предвидел: форматы бумаги.
Как все янки, я вырос, используя бумагу формата US Letter: 8,5 дюймов (213/5 см) в ширину и 11 дюймов (2719/20 см) в длину, поэтому иногда этот формат называют броским именем — поистине убийственный брендинг — «восемь с половиной на одиннадцать». Если бы я пораскинул мозгами, то понял бы, что в других странах вместо дюймов ведут измерения в сантиметрах, поэтому формат US Letter им вряд ли подойдет.
Название «восемь с половиной на одиннадцать» представляется мне неуклюжим, но оно меркнет на фоне ужасного словосочетания «двадцать один и три пятых на двадцать семь и девятнадцать двадцатых».
Когда же я увидел листки их формата — известного под еще менее привлекательным названием «A4», — я испытал к ним острое отвращение. Они слишком узкие, как модные джинсы. Я давно привык к свободному крою типа клеш, и всё мое существо раздражала эта изящная европейская белиберда. Длина бумаги формата US Letter примерно на 30 % больше ее ширины; очевидно, что в Европе соотношение было иным. И, что столь же очевидно, оно было хуже.
Поэтому я решил присмотреться к размерам бумаги A4. Я предполагал что-то вроде 22,5 см на 28 см или, возможно, 23 см на 30 см.
Мило и аккуратно с точки зрения этих европейцев, помешанных на метрической системе мер, не правда ли?
А вот и нет. Верный ответ: 21 см на 29,7 см.
Какого черта?
Я поделил 29,7 на 21, чтобы выяснить упрощенное соотношение: примерно 1,41. Будучи учителем математики, я сразу же узнал это число: оно (приблизительно) равно 
, иначе говоря, квадратному корню из двух. И если раньше я недоумевал, то теперь мгновенно зарычал и воспылал негодованием.
— иррациональное число: то есть оно не является соотношением двух целых чисел.
Производители бумаги выбрали иррациональную пропорцию, которая — я не стану деликатничать — вообще вне всякого рацио.
Как правило, в жизни мы пользуемся двумя видами чисел: (1) целыми числами, например: «У меня трое детей», «Каждое утро мои дети съедают пять тарелок каши» и «Спектр пятен на одежде моих детей — более 17 цветов»; (2) соотношениями целых чисел, например: «Мы тратим ¼ семейного дохода на конструктор "Лего"», «Дома, где живут дети, в 17½ раз чаще разрисованы фломастером», «Эй, когда успели поседеть ⅔ моих волос?».
(Должен заметить, что десятичные дроби, которыми вы пользуетесь ежедневно, тоже представляют собой замаскированные соотношения целых чисел. Скажем, 0,71 доллара — это просто 71/100 доллара.)
Но некоторые дикие экзотические числа не подпадают ни под одну из этих категорий. В них не просто нет цельности — охотясь за ними, мы попадаем мимо цели: их нельзя записать в виде дроби. (Мой 12-летний ученик Адам, чей интеллект блистательнее моего, назвал их «неудробноваримыми»). Вы не сможете подстрелить эти числа обыкновенной или десятичной дробью. Они будут постоянно ускользать.
Именно таким и оказывается — число, при умножении само на себя дающее 2. Присмотримся к нему.
Нет подходящей десятичной дроби, которая в точности равна , и подходящей обыкновенной дроби тоже нет. 7/5? Близко. 141/100? Ближе. 665 857/470 832? Так близко, что ответ уже маячит где-то рядом. Но мы никогда не найдем точного ответа. Никогда в точности не будет .
не просто иррациональное число. Наряду с π это одно из самых знаменитых иррациональных чисел в математике. По легенде, пифагорейцы, исповедующие культ разума, были настолько ошеломлены, узнав о невозможности записать в виде дроби, что утопили математика, который сообщил об этом открытии.
Если производители бумаги в Европе стремятся к , они никогда не смогут достичь своей цели. Говоря языком, который поймут мои британские коллеги: это чертовски недальновидно, не правда ли?
Несколько дней я пребывал в состоянии обостренного раздражения. Дурацкие листы, притрагиваться гадко, словно к ядовитому плющу или к жвачке, прилепленной под партой. Я мрачно шутил по этому поводу; расчет был в том, что эти колкости очаровательно меланхоличны, но в них была такая доза горечи, что слышавшие их отшатывались.
А потом я осознал, что ошибался.
Конечно, я пришел к этому выводу не самостоятельно. Такого у меня не бывает. Наоборот, кое-кто указал мне на замечательные свойства формата A4.
Он составляет часть команды.
Он ровно в два раза больше A5, вчетверо больше А6 и в восемь раз больше пригожей малышки А7. Кроме того, А4 — это ровно половина А3, четверть А2 и одна восьмая впечатляющего великана А1.
Формат US Letter играет по своим собственным правилам, как и подобает в той индивидуалистической культуре, где его используют. Наш формат, «восемь с половиной на одиннадцать», никак не соотносится с бумагой меньшего и большего размера. Он такой один.
Напротив, универсальный формат бумаги построен на глобальных взаимосвязях, как и сам глобальный мир. А4 принадлежит к унифицированной серии форматов: у них различные размеры, но одинаковые пропорции.
Вы понимаете, насколько это восхитительно, если постоянно пользуетесь бумагой — скажем, если вы учитель математики. Вы можете разрезать лист пополам и получить два листа формата А5. Или сложить два листа вместе и получить лист формата А3. Бесчувственных и равнодушных людей, которые прожигают жизнь на пляжах, в ночных клубах и французских ресторанах, возможно, это не воодушевит. Но поклонник канцтоваров испытывает трансцендентный трепет. Эта бумага имеет смысл.
Когда я осознал это, то увидел, что промах — вовсе не промах. Это было неизбежно. Единственный способ заставить эту заколдованную матрешечную систему бумаг работать эффективно.
Чтобы понять, почему это так, представим себе следующую сцену.
ЛАБОРАТОРИЯ ПО ИЗГОТОВЛЕНИЮ БУМАГИ. НОЧЬ.
Красавцы Гвен и Свен, бумаговеды, работают над сверхсекретным исследовательским проектом. Его кодовое название — «Бумага для универмага» или, возможно, «Бумага и отвага» — в зависимости от того, что звучит круче с учетом их неуловимого иностранного акцента. Уже поздно. Они измотаны, но преданы делу.
ГВЕН. Ну хорошо, Свен. Возможно, я не знаю в точности наших национальностей, но я знаю одно: судьба цивилизации зависит от того, способны ли мы создать серию бумажных листов, каждый из которых вдвое меньше предыдущего.
СВЕН. Ставки предельно высоки. Но… какие размеры будут иметь эти бумажные листы?
ГВЕН. Есть всего один способ это выяснить.
Решительным движением Гвен складывает лист бумаги пополам и помечает три размера: длинный (длина изначального листа), средний (ширина изначального листа) и короткий (ширина половины листа).
ГВЕН (продолжая операции с бумагой). Итак, каково соотношение между длинным и средним?
СВЕН. Это именно то, что мы пытаемся выяснить.
ГВЕН. Хорошо, каково соотношение между средним и коротким?
СВЕН. Черт возьми, Гвен! Мы знаем, что соотношение такое же, но мы до сих пор не знаем, чему оно равно.
Проходит мгновение, исполненное романтического напряжения.
ГВЕН. Окей. Допустим, средняя сторона в r раз длиннее короткой.
СВЕН. Но чему равно r?
ГВЕН. Пока не знаю. Всё, что я знаю, — оно больше одного, но меньше двух, потому что средняя сторона длиннее, чем короткая, но не вдвое длиннее.
СВЕН. Ну хорошо. Полагаю, длинная сторона тоже в r раз длиннее средней.
ГВЕН. Следовательно, если ты хочешь узнать длину длинной стороны, зная длину короткой, ее надо умножить на r (чтобы узнать длину средней) и снова на r. Получается r в квадрате.
СВЕН (бьет кулаком по столу). Ты двужильный гений, ты великан среди карликов! Гвен, получилось!
ГВЕН. Неужели?
СВЕН. Длинная сторона в r2 длиннее короткой. Но погляди: она же в два раза длиннее короткой!
ГВЕН. Слов нет… ты прав… и это означает…
СВЕН. Да, r2 равно 2.
ГВЕН. Поэтому r равно квадратному корню из двух! Это и есть секретное соотношение, которое положит конец всем мучениям и объединит человечество!
СВЕН (внезапно с другим акцентом). Прекрасно, Гвен. Уступи мне это число.
ГВЕН. Свен? Зачем ты достал пистолет?
Я заблуждался: создатели формата А4 выбрали соотношение сторон не для того, чтобы насолить лично мне. Они выбрали его и не по сиюминутному капризу, и не в знак упорного противостояния американской гегемонии, и не из садистского удовольствия подобрать иррациональное число.
На самом деле они его в принципе не выбирали.
Они решили создать систему бумажных форматов, каждый из которых вдвое меньше предыдущего. Это довольно крутой и труднодостижимый трюк. Но когда они вступили на этот путь, решение перестало зависеть от их выбора. Есть всего одно число, отвечающее поставленным требованиям, и так уж вышло, что это и есть знаменитое иррациональное число .
Теперь я знаю, что всем нам нравится воображать дизайнеров бумаги необузданными фантазерами, ограниченными только пределами своего воображения. Но в действительности всё намного интереснее. Дизайнеры движутся в пространстве возможностей, которыми управляют логика и геометрия. Это застывший ландшафт: некоторые числа рациональны, другие нет, и ни один дизайнер ничего не может тут поделать. Вместо этого он должен лавировать среди этих препятствий — или, что даже лучше, превратить их в преимущества, как архитектор, чье здание гармонирует с окружающей средой.
Короче говоря, не буду долго разглагольствовать: я поменял свое мнение о формате А4. Теперь, когда я знаю, почему соотношение сторон стремится к , тот факт, что производители бумаги обречены на микроскопическую ошибку, меня больше не тревожит. Честно говоря, формат А4 даже перестал казаться мне неправильным. Теперь меня, наоборот, раздражает бумага формата US Letter, слегка располневшая и старомодная.
Кажется, я завершил переход из одной категории несносных американцев в другую. Из шовиниста и поборника моих своевольных национальных обычаев я стал страстным проповедником зарубежных традиций. Сейчас я даже реже пью карамельные коктейли, хотя уверен, что полностью никогда не откажусь от них, как и от бумаги американского формата.