Мы продолжаем публикацию фрагментов книги американского популяризатора науки Клиффорда Пиковера «Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов. 250 основных вех в истории математики», вышедшей в русском переводе этой осенью в издательстве «БИНОМ. Лаборатория знаний».
В прошлый раз вы могли познакомиться с рассказами Пиковера о наиболее ранних событиях в истории математики, сегодня речь пойдет о делах последних десятилетий.
Законы Мерфи и узлы
С давних времен моряки и ткачи замечали, что канаты и нити имеют явную тенденцию запутываться и завязываться в узлы, что является проявлением знаменитого закона Мерфи, гласящего, что если какая-то неприятность может произойти, то она обязательно произойдет. Тем не менее до недавнего времени не существовало строгой теории, объясняющей данный феномен. Рассмотрим только один практический результат завязывания узлов: один узел на тросе альпиниста может снизить максимальную прочность троса на разрыв на целых 50%.
В 1988 г. математик Де Витт Л. Самнерс и химик Стюарт Дж. Уиттингтон четко выявили эти явления путем моделирования тросов, канатов и других струноподобных объектов, таких как химические полимерные цепи, как случайные блуждания без самопересечений. Представьте себе муравья, отдыхающего в некоторой точке кубической пространственной решетки. Он может случайно передвигаться в любом из шести направлений, прокладывая свой путь по этой решетке (т. е. назад или вперед в любом из трех направлений). Для того чтобы смоделировать физический объект, который не может занимать одновременно одну и ту же точку в пространстве, траектория движения муравья избегает самопересечений, так что в пространстве нет такой точки, в которой муравей побывал бы больше одного раза. На основе своих исследований Самнерс и Уиттингтон доказали общий результат: почти все достаточно длинные траектории случайных блужданий без самопересечений содержат узлы.
Кроме того, что их исследование помогает объяснить, почему длинный садовый шланг в вашем гараже с большой долей вероятности может завязаться в узел или почему веревка с узлами, найденная на месте преступления, может не иметь значения для судебной экспертизы, эта работа имеет огромное значение для нашего понимания переплетающихся спиралей ДНК и структуры белка. Давным-давно, специалисты по фолдингу белка полагали, что образование узла выходит за рамки возможностей белковой молекулы, но в настоящее время был найден ряд таких узлов. Некоторые из этих узлов могут стабилизировать структуру белка. Если ученые смогли бы точно предсказывать структуру белка, то они смогли бы лучше понять причины заболеваний и разрабатывать новые лекарства, которые основаны на знании трехмерной формы белка.
Кривая бабочки
Параметризация – это система уравнений, которая выражает совокупность величин как функций нескольких независимых переменных. Кривая на плоскости, как часто говорят, является параметризованной, если набор координат (х, у) на кривой представлен в виде функции переменной t. Например, в обычных декартовых координатах мы имеем стандартное уравнение окружности: х2 + y2 = r2, где r – радиус окружности. Мы также можем определить окружность с помощью параметрических уравнений: x = r cos (t), у = r sin(t), где 0 < t ≤ 360°, или 0 < t ≤ 2π. Для построения графика программисты используют растущее значение t и соединяют полученные на графике точки (х, у) сплошной линией.
Математики и художники в области компьютерной графики часто прибегают к параметрическим представлениям, потому что некоторые геометрические формы очень трудно описать в виде одиночных уравнений таким же способом, который использовался для окружности. Например, чтобы нарисовать коническую спираль, можно использовать уравнения x = a z sin(t), y = a z cos(t) и z = t/(2 π c), где a и c являются константами. В наши дни коническую спираль используют в некоторых видах антенн.
Красота многих алгебраических и трансцендентных кривых выражается в их симметрии, лепестках и листиках, а также в их асимптотическом поведении. Кривые в виде крыльев бабочки, разработанные Темплом Феем в то время, когда он работал в Университете Южного Миссисипи, являются одним из таких типов кривых красивой, сложной формы. Уравнение для кривой в виде крыльев бабочки может быть записано в полярных координатах как ρ = ecosθ – 2cos(4θ) + sin5(θ/12). Эта формула описывает траекторию движения точки, соответствующую форме крыльев бабочки. Переменная ρ – расстояние от точки до начала координат. Кривая бабочки с момента ее первого представления в 1989 г. продолжает очаровывать своей красотой как студентов, так и математиков, и воодушевляет студентов на эксперименты с ее вариантами с более длительными периодами повторения, такими, как как ρ = ecosθ – 2,1cos(6θ) + sin7(θ/30).
Парадокс Паррондо
В конце 1990-х гг. испанский физик Хуан Паррондо показал, как, играя поочередно в две игры, в каждой из которых гарантирован проигрыш, можно заведомо выиграть и обогатиться. Научно-популярная писательница Сандра Блэйксли написала, что «то, что открыл Паррондо, кажется новым законом природы, который может помочь объяснить, среди всего прочего, как из первичного бульона возникла жизнь, почему популярность президента Клинтона выросла после того как он попал в секс-скандал, и почему инвестирование в падающие акции может иногда приводить к большему приросту капитала». Ошеломляющий парадокс имеет различные приложения: от динамики роста народонаселения до оценки финансовых рисков.
Чтобы понять этот парадокс, представьте, что вы играете в две азартные игры с подбрасыванием несимметричной монеты. Вероятность P1 выигрыша в игре А меньше 50% и выражается формулой P1 = 0,5 – х. Если вы выиграете, то получите 1 долл., в противном случае вы потеряете 1 долл. В игре B вы проверяете, не вырос ли ваш выигрыш на величину, кратную 3. Если нет, то вы подбрасываете другую несимметричную монету с вероятностью выигрыша P2 = (3/4 – х). Если да, то вы подбрасываете третью несимметричную монету с вероятностью выигрыша P3 = (1/10 – х). Играя по отдельности либо в игру А, либо в игру B, например при х = 0,005, в долгосрочной перспективе вы гарантированно проиграете. Однако если вы будете играть в них поочередно (или даже если вы случайно будете переключаться между этими играми), ваш выигрыш в конечном итоге превзойдет самые смелые ожидания! Обратите внимание, что результат игры А влияет на игру B в течение чередования этих игр.
Впервые Паррондо придумал свою парадоксальную игру в 1996 г. Инженер в области биомедицины Дерек Эббот из Университета Аделаиды, Австралия, придумал термин «парадокс Паррондо», после чего в 1999 г. Эббот опубликовал свою работу, в которой была произведена проверка противоречащего интуиции результата, полученного самим Паррондо.
Поиски холиэдра
Рассмотрим традиционный многогранник, построенный из набора многоугольников, являющихся гранями. Холиэдром называется такой многогранник, у каждой грани которого имеется по крайней менее одно отверстие в форме многоугольника. Границы этих отверстий не имеют общих точек ни друг с другом, ни с ребрами многогранника. Например, рассмотрим сплошной куб, имеющий шесть граней. Затем представим себе, что через одну из граней мы вдвигаем в этот куб пятигранный стержень, который проходит куб насквозь и выходит с другой стороны, образуя пятиугольный туннель. В данный момент мы построили объект с 11 гранями (6 исходных граней куба и 5 новых граней в пятиугольном туннеле), и только у 2 из этих 11 граней имеются пробитые в них отверстия. Каждый раз, когда мы будем пробивать отверстие, мы будем создавать еще большее количество новых граней. Огромная проблема при построении холиэдра заключается в том, чтобы проделать отверстия таким образом, чтобы они в конечном счете прошли более чем через одну грань с целью сокращения числа граней, которые остались совсем без отверстий.
Концепция холиэдра впервые была предложена математиком Джоном Х. Конвеем из Принстона в 1990-х гг., который предложил награду в размере 10 000 долл. любому, кто сможет найти такие объекты. Он также оговорил в качестве особого условия, что его денежное вознаграждение будет разделено на количество граней такого объекта. В 1997 г. Дэвид У. Уилсон придумал слово «холиэдр» для обозначения такого перфорированного многогранника.
Наконец, в 1999 г. американский математик Джейд П. Винсон обнаружил первый в мире образец холиэдра, насчитывающего в общей сложности 78 585 627 граней (которые, очевидно, сильно уменьшили денежный приз Винсона)! В 2003 г. специалист по компьютерной графике Дон Хэтч обнаружил холиэдр с 492 гранями. Поиск новых холиэдров продолжается.
Задача о складывании простыни
Представьте, что ночью у вас случилась бессонница и вы решили снять с кровати простыню, которая в толщину составляет около 0,4 мм. Вы сложили ее один раз, и ее толщина стала равной 0,8 мм. Сколько раз вам надо сложить простыню, чтобы ее толщина стала равной расстоянию от Земли до Луны? Самое замечательное, что если вы сложите простыню всего лишь 40 раз, то вы будете спать на Луне! В другом варианте этой задачи у вас в руках лист простой бумаги толщиной 0,1 мм. Если бы вы могли сложить его 51 раз, то толщина сложенного листа стала бы больше, чем расстояние от Земли до Солнца! Увы, физически нельзя сложить такие объекты столько раз. На всем протяжении 1900-х гг. преобладал здравый смысл, подсказывающий, что в реальности лист бумаги нельзя сложить пополам более 7 или 8 раз, даже если исходный лист бумаги был большим. Тем не менее в 2002 г. школьница Бритни Гэлливен потрясла мир известием о том, что она смогла сложить лист пополам 12 раз.
В 2001 г. Гэлливен выписала формулу, которая характеризует предельное число раз, в которое можно сложить лист бумаги данного размера в одном направлении. Для случая листа толщиной t можно найти исходную минимальную длину бумаги L, необходимую для складывания листа n раз: L = [(πt)/6] × (2n + 4) × (2n – 1). Можно исследовать характер изменения функции (2n + 4) × (2n – 1). Начиная с n = 0, получаем последовательность целых чисел 0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074 .... Это означает, что при складывании листа бумаги пополам в одиннадцатый раз количество материала, которое будет потеряно на складывание вдоль краев складок, будет в 700 074 раз больше того количества материала, которое потеряется при первом складывании пополам.
NP-полнота игры «Тетрис»
Тетрис – весьма популярная видеоигра, представляющая собой падающие кирпичики, изобретенная в 1985 г. российским компьютерным инженером Алексеем Пажитновым. В 2002 г. специалисты по компьютерным вычислениям количественно оценили трудность игры «Тетрис» и показали, что она имеет сходство со сложнейшими проблемами математики, которые не имеют простых решений, а для нахождения оптимальных решений требуют полного перебора вариантов.
В тетрисе игральные фигурки появляются в верхней части игрового поля и падают вниз. По мере медленного падения вниз данной фигурки, игрок может поворачивать ее, либо двигать из стороны в сторону. Фигурки называются «тетрамино» и состоят из четырех соединенных вместе квадратиков. Тетрамино имеют форму буквы «T», либо другую более простую форму. Когда одна фигурка достигает своего места в нижней части поля, где она останавливается, сверху начинает падать следующая. Всякий раз, когда ряд внизу заполняется квадратиками без пробелов, этот ряд удаляется, а все ряды выше него опускаются на один ряд вниз. Игра заканчивается, когда новая фигурка тетрамино не сможет упасть, потому что она блокируется. Цель игрока заключается в том, чтобы играть как можно дольше для максимального увеличения своего счета.
В 2002 г. Эрик Д. Демэйн, Сьюзан Хохенбергер и Дэвид Либен-Новелл исследовали обобщенную версию этой игры, в которой сетка игрового поля могла бы иметь любое количество квадратов в ширину и высоту. Эта группа исследователей обнаружила, что, если попытаться максимально увеличить количество рядов при игре с заданной последовательностью тетрамино, то игра окажется NP-полной («NP» расшифровывается как «недетерминировано-полиномиальная»). Несмотря на то что задачу такого класса можно проверить на предмет правильности ее решения, в действительности для нахождения ее решения может потребоваться чрезмерно много времени. Классическим примером NP-полной задачи является задача коммивояжера, которая состоит в нахождении кратчайшего маршрута продавца, либо сотрудника службы доставки, который должен посетить много разных городов. Такие задачи являются трудными, потому что нет быстрого и эффективного алгоритма для поиска их решений.
